Перше видання цієї книги вийшло в 1946 р, а потім вона перевидавалася в 1950, 1952, 1955 і 1956 рр. Перед другим і четвертим виданнями книга піддавалася значній переробці, що мала на меті відобразити досвід алгебраїчного викладання в Московському університеті. При підготовці до цього шостому виданню книга піддалася ще більш серйозній переробці, настільки серйозною, що з достатніми підставами її можна було б вважати новою книгою, а не шостим виданням старої книги.
Ця переробка визначалася двома завданнями. Перш за все, неодноразово висловлювалися побажання про розширення книги для того, щоб вона забезпечувала весь обов'язковий університетський курс вищої алгебри, а не тільки його перші два семестри, як це було досі. З цією метою в книгу включено кілька нових глав. Одна з них присвячена основам теорії груп, а інші ставляться до лінійної алгебри - теорія лінійних просторів, теорія евклідових просторів, теорія лямбда-матриць і жорданової нормальної форми матриці.
Звичайно, в радянській алгебраїчної літературі в даний час є ряд хороших книг з лінійної алгебри, різних за обсягом, змістом, характером викладу. Ця книга, навіть після такого значного додавання до неї матеріалу, що відноситься до лінійної алгебри, не може претендувати на заміну будь-якої з цих книг. Проте безперечно, що студентам буде зручно мати весь обов'язковий матеріал зібраним в одному підручнику і викладеним єдиним стилем.
З іншого боку, розташування глав, прийняте в попередніх виданнях книги, вже давно не відповідає чинному в Московському університеті фактичного порядку викладу матеріалу - цей останній у великій мірі визначається необхідністю до певного терміну виконувати певні замовлення курсів аналітичної геометрії і математичного аналізу. Більше того, три роки тому в Московському університеті була введена нова програма курсу вищої алгебри. За ці роки вона успішно пройшла випробування, і тому здавалося доцільним перебудувати книгу, розташувавши в ній матеріал в точній відповідності з зазначеною програмою. Поява підручника, що відповідає цій програмі, полегшить, ймовірно, її введення і в інших університетах країни.
Зазначимо розподіл матеріалу по семестрах: 1-й семестр - глави 1-5, 2-й семестр - глави 6 - 9, 3-й семестр - глави 10, 11, 13 і 14. Слід зазначити, що студенти-механіки Московського університету вивчають вищу алгебру лише в обсязі перших двох семестрів.
Безсумнівно, що ця перебудова книги не утруднить, а, можливо, навіть і полегшить її використання в педагогічних інститутах.
Попередні переробки, книги вдавалося виконати без всякого збільшення її обсягу. На цей раз зробити це було, звичайно, неможливо. Бажання в якійсь мірі скоротити обсяг книги змусило виключити з неї деякий матеріал, зокрема параграфи, присвячені теоремі Гурвіца, теорії алгебр і теоремі Фробениуса. Тим не менш, не здавалося розумним обмежитися викладом в книзі лише того матеріалу, який входить зараз в обов'язкову програму, т. Е. Перетворити цю книгу в простий конспект лекцій. Збережено в книзі необов'язковий матеріал - параграфи, цілком до нього відносяться, відмічені зірочкою, - як правило, такий, що свого часу він входив в обов'язкову програму курсу вищої алгебри, в деяких університетах або педагогічних інститутах входить в програму і зараз і в усякому разі був би включений в програму, якби курс вищої алгебри у своєму розпорядженні великим числом годин.
При переробці книги були змінені також деякі деталі, на яких ми не будемо, однак, зараз зупинятися.