Подання про тунелюванні частинок виникло майже одночасно з квантовою механікою. У класичній механіці для опису в якийсь момент часу системи матеріальних точок досить задати значення координат і компонент імпульсу кожної з матеріальних точок. У квантовій механіці навіть для однієї частинки одночасне визначення координат і відповідної їй компоненти імпульсу принципово неможливо через співвідношення Гейзенберга. Найбільш повний опис системи в квантовій механіці дається комплексної функцією стану системи (хвильової функцією). функція стану 
, Що залежить від часу і координат всіх частинок системи, є рішенням хвильового рівняння Шредінгера. Фізичний сенс функції стану системи визначається не самою , а 
. Імовірність знаходження частинок в елементарному обсязі dxdydz є не що інше, як 
.
При розгляді падіння частинок на потенційний бар'єр кінцевої ширини квантова механіка передбачає невідомий в класичній фізиці ефект - проходження частинок крізь потенційний бар'єр, навіть якщо повна енергія частинки менша за висоту цього бар'єру.
Обчислимо прозорість потенційного бар'єру прямокутної форми [1, 2]. Розглянемо падіння пучка електронів на потенційний бар'єр прямокутної форми, при якому потенційна енергія частинок
(1)
а повна енергія E менше ніж U0 (рис. 1).
Стаціонарні рівняння Шредінгера мають вигляд:
(2)
де 
, 
- хвильові вектора, 
- постійна Планка. Рішення хвильового рівняння при 
шукаємо у вигляді суми падаючої і відбитої хвилі 
, А рішення при 
- у вигляді минулої хвилі 
. Рішення в області потенційного бар'єру 
є 
. Постійні коефіцієнти a, b, c, d визначаються з умови безперервності хвильової функції і 
в точках 
і 
.
В якості коефіцієнта прозорості бар'єру D природно взяти відношення щільності потоку ймовірності минулих частинок до щільності потоку ймовірності частинок, що падають на бар'єр. В даному випадку, це ставлення буде просто дорівнює квадрату модуля хвильової функції, що опинилася за бар'єром, так як амплітуда падаючої хвилі прийнята за одиницю, а хвильові вектора падаючої і пройшла хвилі збігаються
(3)
якщо 
, то як 
так і 
можна приблизно замінити на 
і тоді вираз (3) набуде вигляду
(4)
де 
Таким чином, аналітичне обчислення коефіцієнта проходження через потенційний бар'єр прямокутної форми є досить простим завданням. Однак, у багатьох квантово-механічних завданнях, необхідно обчислити коефіцієнт проходження через бар'єр більш складної форми. В цьому випадку, загального аналітичного рішення обчислення коефіцієнта D не існує. Проте, якщо параметри завдання задовольняють умовам квазіклассічності, то коефіцієнт проходження через бар'єр може бути обчислений в загальному вигляді ( см. пункт 1.1.2 ).
Висновки.
- У квантовій механіці під тунельним ефектом мається на увазі проходження частинок крізь потенційний бар'єр, коли повна енергія частинок менше висоти цього бар'єру.
- Щоб обчислити коефіцієнт прозорості необхідно вирішити рівняння Шредінгера системи з урахуванням умов зшивання хвильової функції на кордонах бар'єру.
- Коефіцієнт прозорості прямокутного бар'єру в разі, коли хвильові вектори падаючої і пройшла хвилі збігаються експоненціально убуває зі збільшенням ширини бар'єру.
Література.
- Д.В. Сивухин. Курс загальної фізики // М .: Наука, т.5, ч.1 +1988.
- Л.Л. Гольдін., Г.І. Новикова. Введення в квантову фізику // М .: Наука 1988.
