1. Принципи економіко-математичного моделювання
2. Математичні операції в задачах економіко-математичного моделювання
3. диференціювання

Анотація: Лекція знайомить з основними поняттями та принципами економіко-математичного моделювання. Важливим етапом моделювання є рішення математичної моделі. Показано можливості програми Mathcad (з використанням символьного процесора) для проведення таких операцій, як інтегрування і диференціювання, рішення рівнянь, обчислення меж, розкладання функції в ряд Тейлора, дослідження поведінки функцій.

Мета лекції. Дати поняття економіко-математичної моделі і викласти основні етапи моделювання. Показати кошти програми Mathcad для проведення найбільш поширених математичних перетворень в процесі вирішення математичних моделей.

Принципи економіко-математичного моделювання

Економіко-математичне моделювання - ефективний метод дослідження складних соціально-економічних об'єктів і процесів. Практичними завданнями моделювання є аналіз економічних об'єктів; економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів і вироблення управлінських рішень. на всіх рівнях.

Економіко-математичне моделювання грунтується на принципі аналогії. Об'єкт досліджується і вивчається через розгляд іншого, подібного йому і більш доступного об'єкта, його моделі. Модель створюється дослідником з метою отримання нових знань про об'єкт-оригіналі і відображає суттєві (з точки зору розробника) властивості оригіналу. Математична модель - математичний образ досліджуваної системи, що описує її в абстрактній формі і адекватно відображає структуру, властивості і взаємозв'язки. Використання математичних моделей дозволяє здійснити попередній вибір оптимальних або близьких до них варіантів рішень за певними критеріями. Економіко-математична модель - це математична модель, призначена для дослідження економічної проблеми. У ній відбиваються основні співвідношення між економічними показниками.

Моделювання завдання включає наступні етапи:

1. Визначення проблеми. Чітке формулювання мети.
2. Постановка задачі. Відбір об'єктів і ситуацій, що реалізують поставлену мету, їх якісний і кількісний аналіз.
3. Системний аналіз. Висуваються гіпотези. Складні об'єкти, розбиваються на частини (елементи), визначаються зв'язку елементів, властивості, що виражаються у вигляді рівнянь, нерівностей тощо Об'єкт представляється у вигляді системи.
4. Системний синтез. Математична постановка задачі, в процесі якої здійснюється побудова математичної моделі об'єкта і визначення методів (алгоритмів) отримання рішення задачі. Як правило, підбирається відома математична модель і алгоритм її вирішення. Важливо вибрати найбільш підходящий метод.
5. Вибір програмного забезпечення. Розробка програми.
6. Рішення і тестування моделі, аналіз вихідних даних. Якщо отримані результати не задовольняють дослідника, то слід вибрати іншу математичну модель; або поставити завдання більш коректно;
7. Застосування результатів досліджень.

Економіко-математичне моделювання вимагає від дослідника чіткості формулювання дослідницької задачі, суворої логічності в побудові гіпотез і концепцій, вміння користуватися інструментарієм вищої математики. В процесі побудови і рішення моделі необхідно проводити аналітичні математичні перетворення в загальному вигляді: дослідження функцій, диференціювання та інтегрування, знаходження меж, рішення різного виду рівнянь і систем рівнянь. Символьний процесор програми Mathcad забезпечує виконання складних математичних операцій простими доступними засобами. Методика роботи в Mathcad викладена в посібнику "Mathcad 14: Основні сервіси та технології". У цій лекції представлені аналітичні методи вирішення поширених математичних задач в середовищі з Mathcad 14.

Математичні операції в задачах економіко-математичного моделювання

Розглянемо ряд часто використовуваних математичних операцій, які необхідні в процесі математичного моделювання.

диференціювання

Для проведення операції диференціювання в Mathcad треба ввести функцію під знак . (панель Calculus), клацнути оператор символьного виводу (панель Symbolic або Evaluation). У програмі можна знаходити приватні похідні, похідні другого, третього, високих порядків.

Диференціальне числення часто застосовується в процесі економічного аналізу. При побудові моделі, аналізі економічних показників виникають питання: від яких чинників залежать показники, які їхні оптимальні значення, як і ступінь залежності. Задачі на знаходження екстремуму, аналіз системи на стійкість, дослідження взаємозв'язку економічних показників, швидкості зміни вирішуються з використанням диференціального обчислення.

Приклад 1.1.

Розглянемо приклад дослідження еластичності. коефіцієнт еластичності показує відносну зміну досліджуваного економічного показника Y під дією одиничного відносного зміни економічного чинника x, від якого залежить показник. Функція має вигляд:

де . Залежно від виду функції еластичність по-різному залежить від фактора .

Нехай залежність економічного показника від фактора описується функцією:

1. показовою
2. зворотного ,
3. лінійної .

Визначити вид залежності коефіцієнта еластичності.

Рішення показано на малюнку 1.1 .

Лістинг рішення Прімера 1.1. Розрахунок еластичності для різних функцій залежно економічного показника від заданого фактора

- коефіцієнт еластичності

і - параметри

1. Показова функція:

   

   

2. Зворотна функція:

   

   

3. Лінійна функція: