1. Визначення координат точок по їх проекція
2. Побудова проекцій точок
3. Визначення положення точок в просторі
4. Побудова наочного зображення точок в системі площин П1, П2, П3

Положення точки в просторі може бути задано двома її ортогональними проекціями, наприклад, горизонтальній і фронтальній, фронтальної і профільної. Поєднання будь-яких двох ортогональних проекцій дозволяє дізнатися значення всіх координат точки, побудувати третю проекцію, визначити октант, в якому вона знаходиться. Розглянемо кілька типових задач з курсу нарисної геометрії.

По заданому комплексного креслення точок A і B необхідно:

1. Записати їх координати .
2. Добудувати проекції т. A і B на площину П3 .
3. Визначити положення точок в просторі (октант або площину проекцій) .
4. Побудувати наочне зображення точок в системі площин П1, П2, П3 .

Визначення координат точок по їх проекція

Визначимо спочатку координати т. A, які можна записати у вигляді A (x, y, z). Горизонтальна проекція т. A - точка A ', що має координати x, y. Проведемо з т. A 'перпендикуляри до осей x, y і знайдемо відповідно Aх, Aу. Координата х для т. A дорівнює довжині відрізка AхO зі знаком плюс, так як Aх лежить в області позитивних значень осі х. З урахуванням масштабу креслення знаходимо х = 10. Координата у дорівнює довжині відрізка AуO зі знаком мінус, так як т. Aу лежить в області від'ємних значень осі у. З урахуванням масштабу креслення у = -30. Фронтальна проекція т. A - т. A '' має координати х і z. Опустимо перпендикуляр з A '' на вісь z і знайдемо Az. Координата z точки A дорівнює довжині відрізка AzO зі знаком мінус, так як Az лежить в області від'ємних значень осі z. З урахуванням масштабу креслення z = -10. Таким чином, координати т. A (10, -30, -10).

Координати т. B можна записати у вигляді B (x, y, z). Розглянемо горизонтальну проекцію точки B - т. В '. Так як вона лежить на осі х, то Bx = B 'і координата bу = 0. Абсциса x точки B дорівнює довжині відрізка BхO зі знаком плюс. З урахуванням масштабу креслення x = 30. Фронтальна проекція точки B - т. B˝ має координати х, z. Проведемо перпендикуляр з B '' до осі z, таким чином знайдемо Bz. Аппликата z точки B дорівнює довжині відрізка BzO зі знаком мінус, так як Bz лежить в області від'ємних значень осі z. З урахуванням масштабу креслення визначимо значення z = -20. Таким чином, координати B (30, 0, -20). Всі необхідні побудови представлені на малюнку нижче.

Побудова проекцій точок

Точки A і B в площині П3 мають наступні координати: A '' '(y, z); B '' '(y, z). При цьому A '' і A '' 'лежать одному перпендикуляр до осі z, так як координата z у них спільна. Точно також на загальному перпендикуляре до осі z лежать B '' і B '' '. Щоб знайти профільну проекцію т. A, відкладемо по осі у значення відповідної координати, знайдене раніше. На малюнку це зроблено за допомогою дуги кола радіуса AуO. Після цього проведемо перпендикуляр з Aу до перетину з перпендикуляром, відновленим з точки A '' до осі z. Точка перетину цих двох перпендикулярів визначає положення A '' '.

Точка B '' 'лежить на осі z, так як ордината y цієї точки дорівнює нулю. Для знаходження профільної проекції т. B в даній задачі необхідно лише провести перпендикуляр з B '' до осі z. Точка перетину цього перпендикуляра з віссю z є B '' '.

Визначення положення точок в просторі

Наочно уявляючи собі просторовий макет, складений з площин проекцій П1, П2 і П3, розташування октантів , А також порядок трансформації макета в епюр, можна безпосередньо визначити, що т. A розташована в III Октант, а т. B лежить в площині П2.

Іншим варіантом вирішення даного завдання є метод винятків. Наприклад, координати точки A (10, -30, -10). Позитивна абсциса x дозволяє судити про те, що точка розташована в перших чотирьох октантах. Негативна ордината y говорить про те, що точка знаходиться в другому або третьому октантах. Нарешті, негативна аппликата z вказує на те, що т. A розташована в третьому Октант. Наведені міркування наочно ілюструє наступна таблиця.

Октанти Знаки координат x y z 1 + + + 2 + - + 3 + - - 4 + + - 5 - + + 6 - - + 7 - - - 8 - + -

Координати точки B (30, 0, -20). Оскільки ордината т. B дорівнює нулю, ця точка розташована в площині проекцій П2. Позитивна абсциса і негативна аппликата т. B вказують на те, що вона розташована на кордоні третього і четвертого октантів.

Побудова наочного зображення точок в системі площин П1, П2, П3

Використовуючи фронтальну ізометричну проекцію, ми побудували просторовий макет III октанта. Він являє собою прямокутний тригранник, у якого гранями є площині П1, П2, П3, а кут (-y0x) дорівнює 45 º. У цій системі відрізки по осях x, y, z будуть відкладатися в натуральну величину без спотворень.

Побудова наочного зображення т. A (10, -30, -10) почнемо з її горизонтальної проекції A '. Відклавши по осі абсцис і ординат відповідні координати, знайдемо точки Aх і Aу. Перетин перпендикулярів, відновлених з Aх і Aу відповідно до осей x і y визначає положення т. A '. Відклавши від A 'паралельно осі z в сторону її негативних значень відрізок AA', довжина якого дорівнює 10, знаходимо положення точки A.

Наочне зображення т. B (30, 0, -20) будується аналогічно - в площині П2 по осях x і z потрібно відкласти відповідні координати. Перетин перпендикулярів, відновлених з b х і Bz, визначить положення точки B.